三门问题

也称为蒙提霍尔问题或蒙提霍尔悖论。这是一个经典的概率问题，最早由美国的数学家及电视主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）在20世纪60年代初首次提出。

问题描述：你面前有三扇关闭的门，在其中一扇门后有奖品，另外两扇门后没有奖品。选手先选择其中一扇门，然后，主持人会在另外两扇门中打开一扇没有奖品的门。此时，选手可以选择是否更改自己的选择来获取奖品。请问，是否应该更改选择？

解决

对于三门问题中新事件所提供的信息，也就是主持人打开一扇没有汽车的门后告诉你选择正确概率只有1/2，我们可以将其视为更新先前假设的过程。

在游戏开始前，我们有三个可能性：汽车在门A，汽车在门B，汽车在门C，每个可能性发生的先验概率都是1/3。而当主持人打开了门B，并告诉你选择正确的概率只有1/2时，这相当于给出了一个新的观测值（门B不含汽车），从而更新了我们的先验分布。

具体来说，我们可以根据贝叶斯定理计算更新后的后验分布。在这种情况下，我们需要计算的是汽车真实在门X（其中X=?）的概率，因此我们有：

P(X|B) = P(B|X) * P(X) / P(B)

其中，P(X|B)是在主持人打开了门B后汽车在门X的后验概率，P(B|X)是在汽车真实在门X的前提下，主持人打开门B的概率，P(X)是汽车真实在门X的先验概率，P(B)是主持人打开门B的概率。

P(X|B)表示主持人已经打开了门B并展示它后面没有汽车，此时如果汽车真实在门X，那么主持人有1/2的概率会打开门B；如果汽车不在门X，那么主持人必须选择没有汽车的门来打开。根据随机性原则，我们知道汽车真实在门X的概率是1/3，因此我们有：

P(B|X) = 1/2

P(X) = 1/3

P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|B)P(B) + P(B|C)P(C)

其中，P(B|A)表示在汽车真实在门A的前提下，主持人打开门B且门B后面没有汽车的概率，此时主持人只能选择门C打开，因此这个概率是1；P(B|B)表示主持人打开了门B但是发现门B后面确有汽车的概率，这个概率为0；P(B|C)表示在汽车真实在门C的前提下，主持人打开门B且门B后面没有汽车的概率，此时主持人只能选择门A打开，因此这个概率也是1/2。因此，我们有：

P(B) = 1/3 * 0 + 1/3 * 1 + 1/3 * (1/2) = 1/2

带入公式计算得到：

P(A|B) = 1/6
P(B|B) = 0
P(C|B) = 2/3

因此，认为汽车在门C的概率最大，为2/3，这意味着更改选择会带来更高的获胜概率。